Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- hw:lab:e2_fft:start [2011/02/10 09:43]
szymon.kulis
+++ hw:lab:e2_fft:start [2019/03/08 14:08] (current)
@@ Line 1: / Line 1: @@
 ====== Transformata Fouriera ======
-===== Plan ćwiczenia =====
+Dyskretna transformata Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform – DFT) jest
+procedurą numeryczną pozwalającą analizować, badać oraz syntetyzować sygnały
+w sposób dużo bardziej efektywny niż badając sygnały w postaci ciągłej [Ric03].
+Dzięki DFT możliwe jest wyznaczenie zawartości częstotliwościowej dowolnego sy-
+gnału dyskretnego (w dziedzinie czasu). DFT wywodzi się bezpośrednio z przekształ-
+cenia Fouriera, danego dla sygnałów ciągłych [Ric03, Dag01, Zie02], jako dyskretny
+ciąg X(m) w dziedzinie częstotliwości:
-    - Generacja sygnału sinusoidalnego o zadanej częstotliwości
+<latex>
-    - Badanie odpowiedzi TF na sygnały o różnej amplitudzie i częstotliwości
+ X(m)=\sum{x(n)e^{-j2 \pi n m/M}}
-       * normalizacja wyników
+</latex>
-       * wyciek (dla częstotliwościami nie będącymi bazowymi)
-       * aliasing (podanie czestotliwosci > fs/2)
+gdzie x(n) to dyskretny N elementowy ciąg wartości sygnału w dziedzinie czasu.
-       * [opcja] badanie wpływu funkcji okien na widmo
+Przyjmując, iż próbki w dziedzinie czasu zbierane są w równoodległych chwilach o
-    - odpowiedź TF na szum biały
+długości 1/fs , gdzie fs jest częstotliwością próbkowania, można wprowadzić pojęcie
-       * uśrednianie widma
+częstotliwości podstawowej jako:
-    - Badanie odpowiedzi przetwornika ADC na sygnał sinusoidalny
-       * szum kwantyzacji
+<latex>
-       * wpływ parametru modelu (wzmocnienie) na zniekształcenia nie liniowe (harmoniczne)
+fb = \frac{fs}{N}
-    - [opcja] filtracja w dziedzinie częstotliwości (np. zidentyfikowanie i usunięcie zakłócenia o zadanej częstotliwości)
+</latex>
+Analiza częstotliwościowa sygnału x(n) owocuje więc wyznaczeniem wartości X(m)
+DFT, zwanych prążkami, w punktach osi częstotliwości będących całkowitymi wie-
+lokrotnościami częstotliwości podstawowej:
+<latex>
+f_m = f_b*m
+</latex>
+Częstotliwości takie nazywane będą częstotliwościami bazowymi. Dyskretne prze-
+kształcenie Fouriera w ogólności przyporządkowuje więc zespolonemu ciągowi N
+elementowemu identyczny ciąg. W większości aplikacji sygnał wejściowy ma jednak
+charakter rzeczywisty (części urojone są równe zero dla wszystkich próbek). Sytuacja
+taka implikuje, iż prążki dla m >= N/2 mają charakter nadmiarowy. Dla argumen-
+tów m ∈ [0, N/2 − 1] wartość wyjściowa DFT będzie miała taką samą amplitudę jak
+(N − m)-ta wartość wyjściowa, kąt fazowy będzie się różnił tylko znakiem [Ric03].
+Kolejną bardzo ważną własnością transformaty Fouriera jest jej liniowość. Mówi
+ona o tym, iż DFT sumy dwóch sygnałów jest równa sumie transformat każdego
+z sygnałów [Ric03, Zie02]. Dzięki tej własności możliwe jest analizowanie intere-
+sujących nas przypadków zawierających wiele składowych, np. sygnał wraz z jego
+harmonicznymi.
+Wyniki transformaty Fouriera przykładowego sygnału (rys. 4.2a):
+spróbkowanego z częstotliwością 16 Hz zostały zaprezentowane na rysunku 4.2b. W
+widmie wyjściowym można zaobserwować obecność prążków dla częstotliwości odpo-
+wiadających sygnałom wejściowym, jednak ich amplituda jest inna niż oczekiwana.
+Jeśli rzeczywisty sygnał wejściowy zawiera składową sinusoidalną o amplitudzie A
+i całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek wejściowych, wówczas amplituda
+wyjściowa DFT dla tego przebiegu wynosi A · (N/2). Aby więc odczytać amplitudę
+z wyników DFT należy podzielić wartości wszystkich składowych przez (N/2).
+W powyższym przykładzie częstotliwości były starannie dobrane, tak by w zbio-
+rze wejściowym dana częstotliwość mieściła się całkowitą ilość razy (aby dana czę-
+stotliwość była częstotliwością bazową). W przypadkach gdy częstotliwość sygnału
+wejściowego nie jest częstotliwością bazową można zaobserwować zjawisko wycieku.
+Celem ćwiczenia jest ...
+==== Zadanie 1 ====
+Wygeneruj N próbek sygnału sinusoidalnego (amplituda 1 V,częstotliwości X Hz, faza początkowa n stopni) spróbowanego z częstotliwością 128Hz. Wykreśl wykres pierwszych M próbek w dziedzinie czasu. Wyznacz DTF z wygenerowanych próbek. Wykreśl wartości amplitudy i fazy (oś Y dla amplitudy w skali logarytmicznej).
+Podobna procedurę powróż dla sygnału :
+<latex>
+y=-0.1 + sin(\omega 1 * t) + 0.2 * sin(\omega 2 * t + \phi 2)
+</latex>
+Jak należy znormalizować wyniki aby otrzymany wynik był nie tylko jakościowy ale i ilościowy?
+==== Zadanie 2 ====
+Podaj na wejście sygnał .... 0.5
+Coś o wycieku
+==== Zadanie 3 ====
+Podaj czesotlitosc 1 i 11 Hz przy samplingu 10 Hz. Wyplotuj wykresy w dziedzinie czasu (zagesc próbki pomiedzy wezlami). Czy jestes na podstawie samych próbek wskazac jaka czestotliwosc sygnalu zostala sprobkowana ?
+==== Zadanie 4 ====
+Podaj czesotlitosc 1 i 11 Hz przy samplingu 10 Hz. Wyplotuj wykresy w dziedzinie czasu (zagesc próbki pomiedzy wezlami). Czy jestes na podstawie samych próbek wskazac jaka była częstotliwość próbkowanego sygnału?
+==== Zadanie 5 ====
+Wygeneruj 1024 losowe próbki. Wyznacz gestosc widmowa takiego sygnalu. Pownoz czynnosc 100 razy usredniajac wyniki (moduly amplitudy). Co mozesz powiedziec o gestosci widmowej ?
+==== Zadanie 6 (szum kwantyzacji) ====
+Sygnał z zadania pierwszego wpuśc na przetwornik ADC (z poprzednich zajeć). Wyznazc DTF otrzymanych kodów. Co stało sie z poziomem szumów ? (pomiar powtórz dla 8,10 i 12 bitów).
+Dla wybranej liczby bitów ADC zmień wzmocnienie (lub offset) i zaboserwój zmiany w widmie.
+(W obu ćwiczeniach możesz również sprawdzić czy uśrednianie widma pomaga).
+==== Zadanie 7 * ====
+[opcja] filtracja w dziedzinie częstotliwości (np. zidentyfikowanie i usunięcie zakłócenia o zadanej częstotliwości)
+==== Zadanie 8 * ====
+[opcja] badanie wpływu funkcji okien na widmo

lumiwiki

User Tools

Site Tools

Differences

Page Tools