====== Transformata Fouriera ======

Dyskretna transformata Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform – DFT) jest
procedurą numeryczną pozwalającą analizować, badać oraz syntetyzować sygnały
w sposób dużo bardziej efektywny niż badając sygnały w postaci ciągłej [Ric03].
Dzięki DFT możliwe jest wyznaczenie zawartości częstotliwościowej dowolnego sy-
gnału dyskretnego (w dziedzinie czasu). DFT wywodzi się bezpośrednio z przekształ-
cenia Fouriera, danego dla sygnałów ciągłych [Ric03, Dag01, Zie02], jako dyskretny
ciąg X(m) w dziedzinie częstotliwości:

<latex>
 X(m)=\sum{x(n)e^{-j2 \pi n m/M}}
</latex>

gdzie x(n) to dyskretny N elementowy ciąg wartości sygnału w dziedzinie czasu.
Przyjmując, iż próbki w dziedzinie czasu zbierane są w równoodległych chwilach o
długości 1/fs , gdzie fs jest częstotliwością próbkowania, można wprowadzić pojęcie
częstotliwości podstawowej jako:

<latex>
fb = \frac{fs}{N}
</latex>

Analiza częstotliwościowa sygnału x(n) owocuje więc wyznaczeniem wartości X(m)
DFT, zwanych prążkami, w punktach osi częstotliwości będących całkowitymi wie-
lokrotnościami częstotliwości podstawowej:

<latex>
f_m = f_b*m
</latex>

Częstotliwości takie nazywane będą częstotliwościami bazowymi. Dyskretne prze-
kształcenie Fouriera w ogólności przyporządkowuje więc zespolonemu ciągowi N
elementowemu identyczny ciąg. W większości aplikacji sygnał wejściowy ma jednak
charakter rzeczywisty (części urojone są równe zero dla wszystkich próbek). Sytuacja
taka implikuje, iż prążki dla m >= N/2 mają charakter nadmiarowy. Dla argumen-
tów m ∈ [0, N/2 − 1] wartość wyjściowa DFT będzie miała taką samą amplitudę jak
(N − m)-ta wartość wyjściowa, kąt fazowy będzie się różnił tylko znakiem [Ric03].

Kolejną bardzo ważną własnością transformaty Fouriera jest jej liniowość. Mówi
ona o tym, iż DFT sumy dwóch sygnałów jest równa sumie transformat każdego
z sygnałów [Ric03, Zie02]. Dzięki tej własności możliwe jest analizowanie intere-
sujących nas przypadków zawierających wiele składowych, np. sygnał wraz z jego
harmonicznymi.

Wyniki transformaty Fouriera przykładowego sygnału (rys. 4.2a):
spróbkowanego z częstotliwością 16 Hz zostały zaprezentowane na rysunku 4.2b. W
widmie wyjściowym można zaobserwować obecność prążków dla częstotliwości odpo-
wiadających sygnałom wejściowym, jednak ich amplituda jest inna niż oczekiwana.
Jeśli rzeczywisty sygnał wejściowy zawiera składową sinusoidalną o amplitudzie A
i całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek wejściowych, wówczas amplituda
wyjściowa DFT dla tego przebiegu wynosi A · (N/2). Aby więc odczytać amplitudę
z wyników DFT należy podzielić wartości wszystkich składowych przez (N/2).

W powyższym przykładzie częstotliwości były starannie dobrane, tak by w zbio-
rze wejściowym dana częstotliwość mieściła się całkowitą ilość razy (aby dana czę-
stotliwość była częstotliwością bazową). W przypadkach gdy częstotliwość sygnału
wejściowego nie jest częstotliwością bazową można zaobserwować zjawisko wycieku.

Celem ćwiczenia jest ...

==== Zadanie 1 ====
Wygeneruj N próbek sygnału sinusoidalnego (amplituda 1 V,częstotliwości X Hz, faza początkowa n stopni) spróbowanego z częstotliwością 128Hz. Wykreśl wykres pierwszych M próbek w dziedzinie czasu. Wyznacz DTF z wygenerowanych próbek. Wykreśl wartości amplitudy i fazy (oś Y dla amplitudy w skali logarytmicznej).

Podobna procedurę powróż dla sygnału :

<latex>
y=-0.1 + sin(\omega 1 * t) + 0.2 * sin(\omega 2 * t + \phi 2)
</latex>

Jak należy znormalizować wyniki aby otrzymany wynik był nie tylko jakościowy ale i ilościowy?

==== Zadanie 2 ====
Podaj na wejście sygnał .... 0.5

Coś o wycieku

==== Zadanie 3 ====

Podaj czesotlitosc 1 i 11 Hz przy samplingu 10 Hz. Wyplotuj wykresy w dziedzinie czasu (zagesc próbki pomiedzy wezlami). Czy jestes na podstawie samych próbek wskazac jaka czestotliwosc sygnalu zostala sprobkowana ?


==== Zadanie 4 ====

Podaj czesotlitosc 1 i 11 Hz przy samplingu 10 Hz. Wyplotuj wykresy w dziedzinie czasu (zagesc próbki pomiedzy wezlami). Czy jestes na podstawie samych próbek wskazac jaka była częstotliwość próbkowanego sygnału?

==== Zadanie 5 ====

Wygeneruj 1024 losowe próbki. Wyznacz gestosc widmowa takiego sygnalu. Pownoz czynnosc 100 razy usredniajac wyniki (moduly amplitudy). Co mozesz powiedziec o gestosci widmowej ?


==== Zadanie 6 (szum kwantyzacji) ====

Sygnał z zadania pierwszego wpuśc na przetwornik ADC (z poprzednich zajeć). Wyznazc DTF otrzymanych kodów. Co stało sie z poziomem szumów ? (pomiar powtórz dla 8,10 i 12 bitów).

Dla wybranej liczby bitów ADC zmień wzmocnienie (lub offset) i zaboserwój zmiany w widmie.

(W obu ćwiczeniach możesz również sprawdzić czy uśrednianie widma pomaga).

==== Zadanie 7 * ====

[opcja] filtracja w dziedzinie częstotliwości (np. zidentyfikowanie i usunięcie zakłócenia o zadanej częstotliwości)

==== Zadanie 8 * ====
[opcja] badanie wpływu funkcji okien na widmo